1-1   تاریخچه‌ای به روش‌های حل مسایل ارتعاش آزاد ورق‌ها 8
1-2   روش‌ المان محدود سلسله مراتبی 21
1-2-1  مقدمه 21
1-2-2  روش‌های المان محدود 22
1-2-3  مروری بر کارهای انجام گرفته در زمینه روش المان محدود سلسله مراتبی 23
1-2-4  ویژگی‌های روش المان محدود سلسله مراتبی 24
1-3   اهداف پژوهش 25
فصل سوم: تئوری‌های کلاسیک و تغییرشکل برشی مرتبه اول ورق 26
2-1   مقدمه 26
2-2   تعریف ماده عمودسانگرد 27
2-3   تئوری کلاسیک ورق لایه لایه 27
2-3-1  میدان‌های جابجایی و کرنش 28
2-3-2  رابطه‌های ساختاری تنش- کرنش 29
2-3-3  فرمول‌بندی المان محدود 30
2-3-4  ماتریس سختی 31
2-3-5  تابع‌های درونیاب لاگرانژی 32
2-3-6  تابع‌های شکل هرمیتی 33
2-3-7  ماتریس جرم 36
2-3-8  روش المان محدود سلسله مراتبی برای ورق تئوری کلاسیک 38
2-3-9  تابع‌های شکل سلسله مراتبی درون-صفحه 38
2-3-10………………………………………………………………….. تابع‌‌های شکل برون-صفحه 41
2-3-11……………………………………………………………. استخراج ماتریس سختی وجرم 43
2-3-12………………………………………………… حل عددی ورق با تئوری کلاسیک ورق 43
2-4   تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول 51
2-4-1  میدان‌های جابجایی و کرنش 51
2-4-2  رابطه‌های ساختاری تنش- کرنش 53
2-4-3  فرمول‌بندی المان محدود 53
2-4-4  ماتریس سختی 54
2-4-5  ماتریس جرم 56
2-4-6  روش المان محدود سلسله مراتبی 57
فصل سوم: تئوری ورق دو‌متغیره پالوده شده 60
3-1   مقدمه 60
3-2   فرضیات اساسی 61
3-3   رابطه‌های کرنش- جابجایی 62
3-4   معادله‌های ساختاری تنش-کرنش 63
3-5   معادله‌های حرکت 65
3-6   فرمول‌بندی المان محدود 68
3-6-1  ماتریس سختی 69
3-6-2  ماتریس جرم 72
3-7   روش المان محدود سلسله مراتبی برای تئوری ورق دو‌متغیره پالوده شده 73
3-7-1  تابع‌های شکل روش المان محدود سلسله مراتبی 74
3-7-1  نتیجه‌گیری 75
نتیجه‌گیری و پیشنهاد 87
4-1   نتیجه گیری 87
4-2   پیشنهاد‌ها 88
روش المان محدود سلسله مراتبی 89
پ-1-1   تابع‌ها‌ی شکل سلسله مراتبی……………………………………………………………………………………………………………..89
پ-1-2   تابع‌ها‌ی شکل سلسله مراتبی یک‌بعدی………………………………………………………………………………………………..92
پ-1-3   تابع‌ها‌ی شکل سلسله مراتبی المان میله………………………………………………………………………………………………..96
پ-1-4   تابع‌ها‌ی شکل سلسله مراتبی المان تیر………………………………………………………………………………………………….98
پ-1-5   تابع‌های مثلثاتی یک‌بعدی……………………………………………………………………………………………………………..101
پ-1-6   تابع‌ها‌ی شکل سلسله مراتبی دوبعدی (المان مستطیلی)

………………………………………………………………………….102
مراجع 104
 فهرست جدول‌ها
 جدول ‏3‑1- مقایسه ی تقریب همگرایی روش‌های المان محدود برای ورق مستطیلی همسانگرد تئوری کلاسیک ورق 44
جدول ‏3‑2- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیSSSS 45
جدول ‏3‑3- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCCCC 46
جدول ‏3‑4- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCCSS 46
جدول ‏3‑5- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 6 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیSFSF 47
جدول ‏3‑6- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCFCF 47
جدول ‏3‑7- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیFFFF 48
جدول ‏3‑8- فرکانس طبیعی بی‌بعد ورق همسانگرد تئوری کلاسیک ورق با 5 تابع سلسله مراتبی برای شرایط مرزیCFFF 48
جدول ‏3‑9 فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق عمودسانگرد نامتقارن لایه‌لایه براساس تئوری کلاسیک 49
جدول ‏3‑10- فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق عمودسانگرد متقارن لایه‌لایه براساس تئوری کلاسیک 50
جدول ‏3‑11- مقایسه ی همگرایی فرکانس‌های بی‌بعد ورق مستطیلی همسانگرد بر پایه تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول 58
جدول ‏4‑1- مقایسه تعداد متغیر‌های مجهول در تئوری‌های تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر 61
جدول ‏4‑2- مقایسه‌ی همگرایی فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق مستطیلی عمودسانگرد تک‌لا بر پایه تئوری RPT 76
جدول ‏4‑3 مقایسه‌ی همگرایی فرکانس‌های ارتعاش آزاد بی‌بعد ورق عمودسانگرد  نامتقارن بر پایه تئوری RPT 77
جدول ‏4‑4- فرکانس مبنای ارتعاش آزاد بی‌بعد برای یک ورق لایه‌لایه نامتقارن عمودچین با …. 78
جدول ‏4‑5- فرکانس طبیعی ارتعاش آزاد بی‌بعد برای یک ورق لایه‌لایه نامتقارن عمودچین با …… 79
جدول ‏4‑6- مقایسه‌ی‌ فرکانس مبنای ارتعاش آزاد بی‌بعد برای یک ورق نامتقارن      80
جدول ‏4‑7- مقایسه‌ی‌ فرکانس مبنای بی‌بعد برای یک ورق تک‌لا با شرایط مرزی مختلف() 82
 فهرست شکل‌ها
شکل ‏1‑1 تقریب‌ خطی‌ جابجایی در تئوری ‌لایه‌لایه‌ای برای مولفه‌های جابجایی لایه‌یI ام    12
شکل ‏1‑3- یک ورق بر اساس فرض‌های تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول، قبل و پس از تغییر شکل] 34
شکل ‏3‑4 یک المان مستطیلی هم‌دیس با چهار درجه آزادی در هر گره     [61…….90
شکل پ-2 نمایش تابع‌های شکل سلسله‌ مراتبی و مشتق اول آن‌ها ]‌ [61………………………………………………………………………………..93
شکل پ-3 تابع‌های‌شکل سلسله مراتبی المان میله ]‌ [62……………………………………………………………………………………………………..97
شکل پ-4 تابع‌های شکل سلسله مراتبی المان تیر ] [62……………………………………………………………………………………………………100
شکل پ-5 تابع‌های‌شکل سلسله مراتبی مثلثاتی برای المان تیر  ]‌ [62…………………………………………………………………………………..102
شکل پ-6 تابع‌های شکل استاندارد لاگرانژی و سلسله مراتبی با یک‌چندجمله‌ای اضافه‌شده ] [61……………………………………………103
 چکیده
 در این پایان‌نامه تئوری‌های کلاسیک ورق، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و تئوری دو‌متغیره پالوده شده برای مساله ارتعاش آزاد، با استفاده از روش‌های المان محدود استاندارد و المان محدود سلسله مراتبی بررسی‌ می‌گردد. تئوری دو‌متغیره پالوده شده یک تئوری تک‌لای معادل است، که در آن برای بیان میدان جابجایی از دو مولفه‌ی خمشی و برشی استفاده می‌گردد و مولفه‌ی خمشی در نیرو‌های برشی تاثیرگذار نیست‌، درحالی که مولفه‌ی برشی نیز تاثیری در گشتاور‌های خمشی ندارد. با حذف مولفه‌ی برشی، این تئوری به تئوری کلاسیک ورق شبیه خواهد شد. هم‌چنین این تئوری تغییرات کرنش برشی در راستای ضخامت ورق را سهموی در نظر‌گرفته و بنابراین نیاز به ضریب اصلاح برشی نمی‌باشد. روش المان محدود سلسله مراتبی یک روش پالایش شبکه‌بندی المان است، که در آن با افزایش مرتبه تابع‌های شکل به‌کار رفته برای تقریب جابجایی، در تعداد نقاط گرهی المان تغییری ایجاد نمی‌شود. در این پژوهش ویژگی‌های روش المان محدود سلسله مراتبی و تابع‌های ‌شکل‌ المان یک بعدی قابل استفاده، توضیح داده می‌شود، سپس روش استفاده از این تابع‌ها برای المان دو‌بعدی بیان می‌گردد. در ادامه فرمول‌بندی روش‌های المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی برای تئوری‌های کلاسیک ورق لایه‌لایه به‌دست می‌آید و فرکانس‌ها برای شرایط مرزی گوناگون و با تغییر تعداد لایه‌ها با حل دقیق مقایسه‌ می‌گردد. مشاهده می‌شود، که در روش المان محدود سلسله مراتبی با استفاده از درجه‌های آزادی کمتر، پاسخ‌های دقیق‌تری نسبت به روش المان محدود استاندارد به‌دست می‌آید. هم‌چنین فرمول‌بندی المان محدود استاندارد و سلسله‌مراتبی برای تئوری تغییر شکل برشی مرتبه‌اول به‌دست می‌آید و اثر قفل برشی، با تغییر نسبت طول به ضخامت ورق بررسی می‌گردد. با استفاده از روش المان محدود سلسله‌مراتبی ضمن جلوگیری از اثر قفل برشی، نتیجه‌های فرکانس آزاد ورق از دقت بهتری نسبت به روش المان محدود استاندارد برخوردار است. پس از آن تئوری دو‌متغیره پالوده شده ورق ارایه‌ گردیده و معادله‌های حرکت و فرمول‌بندی روش‌های‌ المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی برای آن به‌دست می‌آید. فرکانس‌های طبیعی در این تئوری برای ورق‌های عمودسانگرد لایه‌لایه متقارن و نامتقارن برای مودهای مبنا و بالاتر به روش حل دقیق، روش‌های المان محدود استاندارد و سلسله مراتبی به‌دست آمده است. با مقایسه نتیجه‌ها، برتری روش المان محدود سلسله مراتبی نسبت به روش المان محدود استاندارد مشاهده می‌گردد. سپس با تغییر پارامترهای مختلف ورق عمودسانگرد لایه‌لایه عمودچین و اریب‌چین مانند نسبت مدول‌های الاستیسیته، تغییر نسبت طول به ضخامت و تغییر نسبت طول به‌ عرض برای شرایط تکیه‌گاهی مختلف ورق، رفتار این تئوری به روش‌های المان محدود استاندارد و سلسله‌مراتبی بررسی و با نتیجه‌های حل دقیق این تئوری مقایسه می‌گردد.
کلمه‌های کلیدی: تئوری کلاسیک ، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول ، تئوری دو‌متغیره‌ پالوده شده، روش المان محدود استاندارد، روش المان محدود سلسله مراتبی

1-
فصل اول
فصل اول: مقدمه
استفاده از مواد مرکب در سازه‌های هوافضا، خودروسازی و دریانوردی کاربرد گسترده‌ای دارد. به‌طورکلی مواد مرکب از دو بخش رشته و زمینه تشکیل می‌شود. رشته‌ها معمولا سخت‌تر و قوی‌تر از زمینه هستند و بار اصلی در ماده مرکب را تحمل می‌کنند و زمینه به عنوان محافظ رشته‌ها و هم‌چنین وسیله توزیع بار است. زمینه و رشته‌ها در دما و فشار کنترل شده‌ای به یکدیگر می‌چسبند و ماده مرکب را به وجود می‌آورند که از نظر ویژگی‌های مکانیکی از هر دو ماده متفاوت است. مواد مرکب را می‌توان برای استحکام، سختی، خستگی و مقاومت در برابر گرما و بخار با تغییردر جهت الیاف بهینه‌سازی کرد. ویژگی دیگر مواد مرکب نسبت به مواد معمولی، نسبت استحکام به وزن بالای آن‌ها است. اجزای سازه‌ای نظیر تیر و ورق از طریق رویهم‌گذاری لایه‌ها در زاویه‌های مختلف به‌منظور دستیابی به ویژگی‌های مطلوب ایجاد می‌شوند.
پدیده تشدید در اجزای سازه و سیستم‌های مکانیکی، عمر تجهیزات را کم می‌کند و حتی باعث شکست کامل و زودرس می‌گردد. تشدید، تحت تاثیر ویژگی‌های جرم و سختی سازه می‌باشد. آنالیز مودال، مودهای ارتعاشی و فرکانس‌های آن را به‌دست می‌آورد. این روش برای سازه‌های ساده قابل استفاده است. اما وقتی‌که سازه پیچیده می‌شود یا تحت بارگذاری‌های پیچیده قرار می‌گیرد، از روش تحلیل المان محدود برای به‌دست آوردن فرکانس‌های طبیعی و مودهای سیستم استفاده می‌گردد.

1-1 تاریخچه‌ای به روش‌های حل مسایل ارتعاش آزاد ورق‌ها
شروع مطالعه رفتار ارتعاشی ورق‌ها به انتهای دهه 1800 باز می‌گردد، زمانی که ریلی روش معروف خود را برای بررسی ارتعاش آزاد سازه‌ها ارایه داد. [3] پس از آن ریتز در سال 1909 روش ریلی را با در نظر‌گرفتن مجموعه‌ای از تابع‌های شکل آزمون بهبود بخشید، که هر‌کدام ضرایب دامنه مستقلی دارند. به این ترتیب روش ریلی-ریتز به یکی از روش‌های تقریبی پرکاربرد در زمینه بررسی رفتار ارتعاش سازه‌ها تبدیل شد. پس از آن، تحقیقات گسترده‌ای در زمینه ارتعاش ورق‌هایی با شکل‌های مختلف، شرایط مرزی و بارگذاری متفاوت صورت گرفت. بخش عمده‌ای از این مطالعه‌ها به ورق‌های نازک محدود می‌شود که در آن از اثر تغییر شکل‌های برشی صرف‌ نظر شده است. [8]