جدول 4-2- داده‌ها و ستاده‌های 15 انبار

با وجود دو داده و سه ستاده، مشکل مقایسه کردن کارایی انبارها آشکار می‌شود. برای مثال، در مقایسه‌ی ستاده‌ی انبارها 10 و 11، هر دو دارای سطح موجودی و هزینه ی، دستمزد یکسانی هستند، اما انبار 10 دارای سطوح فعالیت بزرگتر یا مساوی انبار 11 است. بنابراین اگر این داده‌ها وستاده‌ها معیارهای درستی باشند انبار 10 بسیار کارآمدتر از انبار 11 خواهد بود. با وجود این، انجام مقایسه‌ی بیشتر مشکل‌تر است. برای مثال، در مقایسه‌ی انبارهای 14 و 15، انبار 14 دارای داده‌های بیشتری است اما ستاده‌های آن در دو مورد بیشتر و در یک مورد کمتر از انبار 15 است. بنابراین، به طور کلی، الگوهای متفاوت فعالیت در واحدهای گوناگون و مقادیر متفاوت داده، مقایسه‌ی کارایی واحدهای تصمیم‌گیری (DMU) را با فرمول معمولی کارایی غیر ممکن یا مشکل می‌کند.
سنجش کارایی نسبی
فارل سنجش کارایی سنبی را، وقتی که داده‌ها و ستاده‌های متعدد و غیر قابل قیاس وجود دارند، مورد توجه قرار داد سپس با کمک «فیلدهاوس» روی آن کار کرد.
آنها پیشنهاد کردند که براساس «میانگین موزون واحدهای کارآمد»، یک واحد فرضی کارآمد ساخته شود تا از آن به عنان مبنای مقایسه ای برای یک واحد ناکارآمد استفاده شود.
فرمول معمولی برای سنجش کارایی نسبی DMU‌ها با وجود داده‌ها و ستاده‌های چند گانه به شکل زیر است:
مجموع موزن ستاده ها = کارایی
مجموع موزن داده ها
(9-2)
که تابع آن به صورت زیر است:
= کارایی واحد j ام

(10-2)
که در آن:
: وزن داده شده به ستاده 1
: مقدار ستاده 1 از واحد j
: وزن داده شده به داده 1
: مقدار داده 1 از واحد j
است.
با توجه به این فرمول روشن است که باید مجموعه‌ی مشترکی از وزن‌ها برای همه‌ی واحدها وجود داشته باشد. در عمل تعیین این وزن‌های مشترک کار مشکلی است. مشکل اول این است که ارزش گذاری داده‌ها و ستاده‌ها و ستاده کار آسانی نیست.
دومین مشکل این است که انبارهای مختلف عملیات خود را به اشکال متفاوتی سازماندهی می‌کنند بنابراین ارزشی که به داده‌ها و ستاده‌های گوناگون می‌دهند با دیگران متفاوت خواهد بود. این تفاوت را می‌توان در مقایسه‌ی دانشکده‌های دانشگاه تهران به شکل روشن تری نشان داد. مدیران دانشکده‌های مختلف هنگام ارزش گذاری بر فعالیت‌های دانشکده‌ی خود، نظرات گوناگونی دارند. برای مثال، در یک دانشکده فعالیت‌های ورزشی مهم‌تر پنداشته می‌شود و در دیگری کارهای هنری و نمایشی دانشجویان. به طور خاص، در دانشکده‌ی ترتبیت بدنی فعالیت اصلی ورزش، و در دانشکده‌ی هنرهای زیبا، فعالیت اصلی کارهای هنری است. بنابراین، تعیین یک مجموعه وزن یکسان برای ارزیابی عملکرد همه‌ی دانشکده‌ها، به طوری که همه‌ی مدیران دانشکده‌های مختلف روی ان اتفاق نظر داشته باشند، کاری مشکل یا شاید غیر ممکن است.
بنابراین، برای اجتناب از وزن دهی یا تخصیص هر گونه اولویت نسبی به داده‌ها یا ستاده‌ها، تعریف زیر را از کارایی نسبی مطرح می‌کنیم.
کارایی نسبی یک DMU، 100% است، اگر و فقط هیچ یک از داده‌های آن را نتوانیم کم‌تر کنیم یا هیچ یک از ستاده‌های آن را نتوانیم بیشتر کنیم، مگر این که باعث شود داده‌های دیگری بیشتر مصرف شوند یا ستاده‌های دیگری کم‌تر تولید شوند؛ به عبارت دیگر، اگر و فقط اگر هیچ یک از داده‌ها یا ستاده‌های آن را نتوانیم بهتر کنیم، مگر این که داده یا ستاده‌های دیگری بدتر شوند.
چون می‌خواهیم تنها براساس اطلاعات در دسترس کار کنیم تعریف نهایی کارایی نسبی در تحلیل پوششی داده‌ها را به صورت زیر مطرح می‌کنیم: یک DMU براساس شواهد موجود 100% کارآمد است، اگر و فقط اگر، عملکرد دیگر DMU‌ها نشان ندهد که می‌توان برخی داده‌ها یا ستاده‌های آن واحد را بهبود داد و در عین حال داده‌ها و ستاده‌های دیگر آن واحد بدتر نشوند.
مدل CCR
«چارنز، کوپر و رودز» با درک مشکلات موجود برای یافتن مجموعه‌ی مشترکی از وزن‌ها برای تعیین کارایی نسبی، پیشنهاد کردند که باید به هر «واحد تصمیم گیری»، DMU، اجازه داد تا مجموعه ای از وزن‌ها را برگزیند که آن واحد را در مطلوب‌ترین وضعیت نسبت به دیگر واحدها نشان دهد. تحت این شرایط کارایی واحد را می‌توان با حل این مساله به دست آورد:
کارایی واحد را حداکثر کنید.
در حالی که کارایی همه‌ی واحدها کوچکتر یا مساوی یک است (1 کارایی)
متغیرهای این مساله وزن‌ها هستند. حل آن مساله، مطلوب‌ترین وزن‌ها را برای حداکثر شدن کارایی و نیز مقدار کارایی آن را ارائه می‌کند. مدل جبری این مساله به صورت مدل (11-2) خواهد بود:

مدل (11-2)
برای هر واحد j
مدل (12-2) :
که m: تعداد داده‌ها و t: تعداد ستاده‌ها است.
برای داده‌های مربوط به انبارها، کارایی انبار دهم با حل مدل (13-2) به دست می‌آید:
(برای انبار 15)

مدل (13-2)
با حل این مدل، مقدار Z به عنوان کارایی انبار 10 و وزن‌هایی که به آن کارایی منجر می‌شوند به دست می‌آیند. اگر Z=1 باشد، انبار 10 نسبت به دیگر انبارها کارآمد خواهد بود. اگر Z کم‌تر از یک باشد، یعنی با وجود انتخاب مطلوب‌ترین وزن‌ها، کارایی انبارهای دیگر نسبت به انبار 10 بیشتر است.
این انعطاف پذیری در گزینش وزن‌ها برای هر واحد تصمیم‌گیری هم ضعف و هم قوت روش DEA است. ضعف آن در این است که وزن‌ها ممکن است ربطی به ارزش داده‌ها و ستاده نداشته باشند. قوت DEA از آنجا ناشی می‌شود
که با وجود مطلوب‌ترین وزن‌های به دست آمده از حل مدل، ممکن است «واحد هدف» ناکارآمد شناخته شود که در این صورت برای تجدیدنظر در عملکرد آن جای بحثی باقی نمی ماند.
مدل اولیه‌ی DEA «یک برنامه‌ی کسری خطی» است که برای حل آن باید نخست به مدل خطی تبدیل شود تا بتوان روش‌های حل برنامه ریزی خطی را برای آن به کار برد.
برای این کار، لازم است بدانیم در حداکثر کردن یک کسر، آنچه باید حداکثر شود نسبت صورت به مخرج است، نه صورت یا مخرج به طور جداگانه. بنابراین، می‌توان مخرج را برابر «یک عدد ثابت» در نظر گرفت، سپس صورت را حداکثر کرد. یا بر عکس، صورت را ثابت در نظر گرفت و مخرج را حداقل نمود. مورد اول در DEA بیشتر به کار گرفته می‌شود و مدل به دست آمده به صورت مدل (5-2) خواهد بود که به خاطر حرف اول ارائه دهندگان آن، CCR نام گرفته است:

مدل (14-2)
محدودیت (الف) همان مخرج کسر در تابع هدف اصلی است و طبق توضیح بالا برابر یک عدد ثابت دلخواه (معمولاً 1) در نظر گرفته می‌شود. محدودیت (ب) شکل تغییر یافته‌ی مجموعه‌ی محدودیت‌های مدل اصلی است که طبق روش معمول ریاضی از حالت کسری خارج شده است.

 
 
مدل (15-2) :
با توجه به این که در مدل (4-2) مجموع موزون داده‌های واحد هدف معادل 1 قرار داده شده است، این مدل، «مدل داده گرا» نامیده می‌شود. اگر مجموع موزون داده‌های واحد هدف را حداقل کرده و مجموع ستاده‌های موزون ان را معادل 1 قرار دهیم، به مدل (2-6-2) منتهی می‌شود که به آن «مدل ستاده گرا» می‌گویند. در این مدل برای حداکثر کردن کارایی، به جای حداکثر کردن صورت آن و ثابت نگاه داشتن مخرج، صورت ثابت نگاه داشته شده و مخرج حداقل می‌شود.

مدل (16-2)
براساس مدل (15-2)، مدل برنامه ریزی خطی به دست آمده برای انبار دهم، به شکل مدل (17-2) خواهد بود: